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现代金融经济的眼重看历史  作者:谁是谁非任评说  分类:[商战]  
  从1+1≠2的数学谈起
  若谁对你说1+1≠2,如果不是脑筋急转弯,你一定会认为他疯了,不过最近本人到上海,见到了神乎乎的当年科大少年班的同学,谈起了2010年开始的一群人搞的1+1≠2的数学,人的很多思维实际上是被从小束缚的,如果放开这个束缚则你会得到很多奇异的结论。
  对于构建我们当今的数学,有一条最重要的公理就是1+1=2,对于这个结论不是需要证明的,我们其他的计算都是从这个公理开始证明的,但数学本身就是一个纯逻辑的学术,数学本身与科学是有一定差距的,因为数学不需要验证的,科学是必须要有与现实内容形而上的验证的,我们完全可以以不同的公理推导出完全不同的逻辑体系,数学就是一个纯的逻辑体系,如果它能够与现实形而上的结合,就是科学,因此数学是科学的工具。
  对于数学里面公理可以有不同的体系,最早出现在几何学,大家都知道几何学的第五公理,也就是平行公理是争议最大的,根据不同的平行公理假设,出现了欧几里得几何和非欧几何,对于这不同的几何到底哪一个正确,曾经是争论不休的,直到哥德尔定理的出现,大家知道了对于一个逻辑体系中间对于自身的问题。
  哥德尔定理是数理逻辑中的一个定理,1931年奥地利逻辑、数学家克尔特?哥德尔(Kurt Godel)发现并证明的,这个定理彻底粉碎了希尔伯特的形式主义理想。哥德尔定理其实是两个定理,其中哥德尔第一不完备性定理是最重要、也是误解最多的,从这一定理的版本众多就可以看出。如:“如果一个形式理论T足以容纳数论并且无矛盾,则T必定是不完备的。”“任何一个相容的数学形式化理论中,只要它强到足以在其中定义自然数的概念,就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题。”“任何一个足够强的一致公设系统,必定是不完备的”等。第二不完备性定理是第一定理的一个推论:“任何相容的形式体系不能用于证明它本身的相容性”。
  对于哥德尔定理的出现,那些无法证明的命题就只能作为公理存在,而对于每一种可能的命题结论,都可以有一个逻辑体系出现,在原来的哥德尔论证的不完备体系下,加上这些内容就完备了,因此会有了非欧几何,而对于几何第五公理是否能够被证明的争论在哥德尔定理以及美国数学家丘奇证明了:“对于包含自然数系的任何相容的形式体系,不存在有效的方法,决定体系中的哪些命题在其中是可证的。”之后,这样的争论自然终止了。
  有了哥德尔定理认识到这样的不完备,就存在可能另外的体系,为什么不能存在1+1≠2的逻辑体系呢?这样的体系怎样建立起来是数学家的问题,而我们更应当在我们现在的世界里面思考,什么样的情况需要这样的1+1≠2的数学,研究数学从来不是纯喜好要有实际的应用,我们看到的就是非欧几何的重要性在广义相对论当中得到了重大的应用,这个应用出现的时期也是广义相对论诞生和哥德尔相关定理诞生的时代,人类的进步不光是爱因斯坦的物理,同时期数学思维的突破也非常关键,只不过这个关键被忽略了,而对于今天,为何提出了1+1≠2的数学,大家关心的还是思考其中重要应用,在什么样的体系下可以使用1+1≠2的方式进行逻辑体系的构建。
  我们的经济学里面实际上是充斥着1+1≠2的情况,这个情形在1+1=2的数学体系当中要描述清楚它是非常不易的,我们为此建立了经济学的边际效应理论,我们拥有的1块钱给我们带来的价值是最大的,如果增加1块,则带来的效益不是增加一倍而是边际递减的,如果我们从这样的价值来考虑实际上是以一个1+1≠2来描述是一个最简单的模型。
  在讲西方的价值论的时候,更多的是主观价值论,在主观价值论上很容易解释人们交换商品的动机,人们交换商品就是主观的价值认知不一样,交换就是赚便宜,而在客观价值论上,这样的交换价值是很难描述的,因为客观价值论上讲的是等价交换,既然价值相等,那么你的交换动机在哪里?但如果我们把描述价值的数字体系公理变成1+1≠2这样的公理,这个≠是考虑到了对应价值的数字的边际效应,则实际上在客观价值论上也非常容易解释交换的动机,因为在不同的边际之下价值不同,让价值发挥更好的边际效应本身会使得价值的总值最大化。这样的过程就如广义相对论里面非欧几何的应用一样,因为有了质量的影响场发生了弯曲,这个几何在物理上非常有用,因为光在空间上就是沿着曲线跑的,并非是直线,我们生活在地球上,因此我们的空间也是曲面,而不是平面,1915年,A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何(严格地说洛伦兹几何)及其运算方法(里奇算法)成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场(杨-米尔斯场)的数学基础。1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明,以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究,引进了后来通称的陈示性类,为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。而我们的相对论告诉我们什么?如果从另外一个角度上说,就是时间这个数量不再是1+1=2,而是要随着参照系的不同,1+1≠2了,时间成为了一个复杂的变量。